polycopies - mp-valence-2009

Les documents précédés d'un astérisque ont été initialement écrits pour la préparation à l'Agrégation Interne de Grenoble. Ils restent néanmoins tout à fait lisibles par un élève de MP curieux et motivé.

Certains résultats mathématiques portent des noms curieux : le "lemme des bergers" est celui qui dit que pour compter les moutons, on compte les pattes et on divise par 4 (très utile en théorie des groupes) ; cette même théorie des groupes semble d'ailleurs apprécier les dénominations animalières puisque l'un de ses résultats est nommé "the butterfly lemma" ; le "principe des tiroirs" (ou des trous de pigeons) de Dirichlet affirme que si l'on dispose de n + 1 chaussettes et de n tiroirs, alors l'un des tiroirs contient au moins deux chaussettes ; le "théorème du sandwich au jambon" affirme que si l'on dispose de trois solides dans l'espace, alors il existe au moins un plan qui coupe simultanément chacun de ces solides en deux morceaux de volumes égaux ; le "théorème de la pizza" donne un procédé permettant de partager une pizza de manière équitable ; le "théorème de la boule chevelue" quant à lui est bien connu de tous puisqu'il affirme que si une sphère est entièrement chevelue (c'est-à-dire que de chaque point de la sphère part un cheveu tangentiellement), alors on ne peut la peigner sans avoir un épi ; les deux derniers groupes sporadiques (ce sont des groupes "aberrants" en ce sens que, d'un certain point de vue, ils échappent à toute classification) portent les noms de "bébé monstre" et de "monstre" de Fisher ; enfin, le "slip" de Möbius est une surface non orientable, en ce sens que l'on peut passer d'un côté à l'autre de cette surface sans passer par son bord :